خصائص الاعداد الحقيقية

تعرف مجموعة الأعداد الحقيقية :

بأنها مجموعة الأعداد التي تتكون من مجموعة الأعداد النسبية (Q)ومجموعة الأعداد الغير نسبية (i) ومجموعة الأعداد الصحيحة (Z)و مجموعة الأعداد الطبيعية(N).
وبذلك تكون مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد النسبية والأخيرة مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية.

حيث أن مجموعة الأعداد الطبيعية تبدأ من الواحد الصحيح إلى موجب ما لا نهاية ،
أما مجموعة الأعداد الصحيحة تشتمل على الأعداد من سالب ما لا نهاية بـ الاضافة إلى الصفر بـ الاضافة إلى الأعداد الموجبة و التي تحتويها مجموعة الأعداد الطبيعية,
أما الأعداد النسبية فتتكون من أعداد صحيحة في صورة بسط و مقام ،
أما الأعداد الحقيقية فتشمل المجموعات السابقة كلها بـ الاضافة إلى الأعداد التي تحتوي على كسور مثل ال π أو ما يطلق عليه الباي أو الأعداد الجذرية. ويمكن تصور الأعداد الحقيقية بأنها أعداد غير متناهية على خط مستقيم.

وتأخذ الأعداد الحقيقية اسمها من تضادها مع فكرة الأعداد التخيلية . كما يمكن لها أن تقوم بقياس الكميات المستمرة على اختلافها . يمكن التعبير عنها بالكسور العشرية التي تكون عادة سلسلة من الأرقام غير منتهية و غير دورية في حالة الأرقام غير الكسرية أو دورية في حالة الأعداد الكسرية .اذا نشأت فكرة الأعداد الحقيقية بسبب وجود أطوال لا يمكن التعبير عن قياسها باستعمال أعداد صحيحة طبيعية أو كسرية أو أعداد جذرية ، لهذا يتم إنشاء مجموعة الأعداد الحقيقية و في هذه المجموعة المعادلة الآتية: x 2 + a = 0 لها حل في هذه المجموعة .


* خصائص الاعداد الحقيقية :

1- الأعداد الطبيعية (N):وهي الاعداد {. . . . . 1,2,3,4,5}
2- الأعداد الكلية(W) : وهي الأعداد الطبيعيه +الصفر فيكون {......0,1,2,3,4,5 }
3- الأعداد الصحيحة(Z) :وهي الاعداد الكلية +الاعداد السالبة
4- الأعداد النسبية(Q) :وهي كل عدد مكون من (بسط ومقام) وشرط أن المقام لا يساوي صفر
5-الأعداد الغير نسبية(I):هي اعداد ليست منتهية وليست دوريه وهي الاعداد التي تحت الجذر أن كنا لا نستطيع جذرها





* خصائص الاعداد الحقيقية :

أ + ب = ب + أ  ،  أ ب = ب أ                                        :الخاصية التبديلية
أ + ب) + ﺠ = أ + (ب + ﺠ) ، ( أ ب ) ﺠ  = أ ( ب ﺠ )       :الخاصية التجميعية )
أ (ب + ﺠ ) = أ ب + أ ﺠ                                             :الخاصية التوزيعية )
أ + (- أ ) = 0  ،   أ × ( 1 / أ ) = أ                            :خاصية توزيع الضرب على الجمع:
 أ + 0 = أ  ،  أ × 1 = أ                                             : العنصر المحايد

*النظير الجمعي والنظير الضربي  :



*خاصية التوزيع وتبسيط العبارات الجبرية :





  بعض الاسئلة المساعدة لفهم درس خصائص الاعداد الحقيقية :


ضعي علامة صح او خطأ :

يمكن أن ينتمي العدد إلى أكثر من مجموعة أعداد (    ).
يعد العدد الطبيعي عدداً كلياً وصحيحاً، ونسبياً، وحقيقيا (     ).
إشارة النظير الجمعي لعدد هي عكس إشارة ذلك العدد.(    )
إشارة النظير الضربي لعدد فهي ذاتها إشارة ذلك العدد.(    )
± تعني الجذر الموجب والسالب.(    )
يسمى العدد العشري الذي تظهر أرقامه نمطاً غير متكرر عدداً غير نسبي.(    )
ناتج جمع العدد ونظيره الجمعي يساوي 0.(    )
ناتج ضرب العدد ونظيره الضربي يساوي 1.(    )
العدد 0 ليس له نظير ضربي.(    )
تُقسم مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعتين، هما:مجموعة الأعداد النسبية ، ومجموعة الأعداد غير النسبية   (    )
ينتمي إلى مجموعة الأعداد غير النسبية. (    )
تحتوي مجموعة الأعداد النسبية على الكسور العشرية المنتهية والدورية.(    )
تعتبر مجموعة الأعداد الكلية مجموعة مغلقة تحت عملية الضرب.(    )
مجموعة الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عملية الضرب.(    )
مجموعة الأعداد الكلية غير مغلقة تحت عملية الطرح.(    )
مجموعة الأعداد الكلية غير مغلقة تحت عملية القسمة.(    )

جزاكِ الله خير

جميل شذا شكراً

ويااك يا ابله كلو من تعبك

العفو يا نوارا ولو